Insegnamento
ALGEBRA COMMUTATIVA
SCP3050935, A.A. 2016/17

Principali informazioni sull'insegnamento
Corso di studio Corso di laurea magistrale in
MATEMATICA
SC1172, ordinamento 2011/12, A.A. 2016/17
1148405
Curriculum GENERALE [010PD]
Crediti formativi 8.0
Denominazione inglese COMMUTATIVE ALGEBRA
Sito della struttura didattica http://matematica.scienze.unipd.it/2016/laurea_magistrale
Dipartimento di riferimento Dipartimento di Matematica
Obbligo di frequenza No
Lingua di erogazione INGLESE
Sede PADOVA

Docenti
Responsabile MARCO-ANDREA GARUTI MAT/03

Mutuazioni
Codice Insegnamento Responsabile Corso
SCP3050935 ALGEBRA COMMUTATIVA MARCO-ANDREA GARUTI SC1172

Dettaglio crediti formativi
Tipologia Ambito Disciplinare Settore Scientifico-Disciplinare Crediti
CARATTERIZZANTE Formazione teorica avanzata MAT/03 8.0

Modalità di erogazione
Periodo di erogazione Primo semestre
Anno di corso I Anno
Modalità di erogazione frontale

Organizzazione della didattica
Tipo ore Crediti Ore di
Corso
Ore Studio
Individuale
Turni
ESERCITAZIONE 4.0 32 68.0 Nessun turno
LEZIONE 4.0 32 68.0 Nessun turno

Calendario
Inizio attività didattiche 01/10/2016
Fine attività didattiche 20/01/2017

Commissioni d'esame
Commissione Dal Al Membri
4 Algebra Commutativa - 2016/2017 01/10/2016 30/11/2017 GARUTI MARCO-ANDREA (Presidente)
BERTAPELLE ALESSANDRA (Membro Effettivo)
BALDASSARRI FRANCESCO (Supplente)
CAILOTTO MAURIZIO (Supplente)
CHIARELLOTTO BRUNO (Supplente)
KLOOSTERMAN REMKE NANNE (Supplente)
LONGO MATTEO (Supplente)

Syllabus
Prerequisiti: Nozioni base di Algebra (gruppi, anelli, ideali, campi, quozienti, ecc.), acquisite nel corso di "Algebra 1".
Conoscenze e abilita' da acquisire: Una buona conoscenza degli oggetti algebrici da utilizzare in Geometria Algebrica e Teoria dei Numeri:
- Moduli;
- Prodotti Tensoriali;
- Spettro di un anello;
- Localizzazione;
- Estensioni Intere;
- Anelli noetheriani;
- Domini di Dedekind ed anelli di valutazione discreta;
- Rudimenti di teoria della dimensione.
Modalita' di esame: Un esame scritto obbligatorio per tutti.
Criteri di valutazione: La valutazione della preparazione dello studente sia baserà sulla comprensione degli argomenti svolti, sull'acquisizione dei concetti e delle metodologie proposte e sulla capacità di applicarli in modo autonomo e consapevole.
Contenuti: Anelli commutativi unitari, ideali, omomorfismi, anelli quoziente. Campi, domini integrali, zero divisori, elementi nilpotenti. Ideali primi e ideali massimali. Anelli locali e la loro caratterizzazione. Operazioni su ideali (somma, intersezione, prodotto). Estensione e contrazione di ideali per omomorfismi. Annullatore, ideale radicale, nilradicale e radicale di Jacobson di un anello. La topologia di Zariski su sullo spettro primo Spec(R). Spec(R/I) come chiuso di Spec (A). Prodotto diretto di anelli.

Moduli, sottomoduli e loro operazioni (somma, intersezione). Annullatore di un modulo. Moduli fedeli. Somme dirette e prodotti diretti di moduli. Successioni esatte di moduli, lemma del serpente. Moduli proiettivi ed iniettivi. Moduli finitamente generati, di presentazione finita, moduli liberi. Teorema di Cayley-Hamilton e Lemma di Nakayama.

Prodotto tensoriale e le sue proprietà. Estensione degli scalari per i moduli. Algebre su un anello e il loro prodotto tensoriale. Esattezza ed aggiunzione dei funtori Hom prodotto tensoriale. Moduli piatti. Differenziali di Kahler.

Anelli di frazioni e localizzazione. Esattezza della localizzazione. Localizzazione ed insiemi aperti in Spec(R). Proprietà locali. Moduli fedelmente piatti e teoria della discesa. Moduli proiettivi e localmente liberi.

Elementi interi, estensioni intere di anelli e chiusura integrale. Going Up, Going Down ed interpretazione geometrica. Norma, traccia, discriminante. Anelli di valutazione. Cenni sui completamenti.

Condizioni sulle catene, anelli e moduli artiniani e noetheriani. Teorema della beorema di Hilbert. Lemma di Normalizzazione e Nullstellensatz.

Anelli di valutazione discreta. Ideali frazionari e moduli invertibili. Divisori di Cartier e Weil, gruppo di Picard, applicazione ciclo. Domini di Dedekind e loro estensioni. Decomposizione degli ideali, inerzia e ramificazione.

Dimensione di Krull, altezza di un ideale primo. Teorema dell'ideale principale. Caratterizzazione dei domini fattoriali. Anelli locali regolari. Finitezza della dimensione di un anello locale noetheriano.
Attivita' di apprendimento previste e metodologie di insegnamento: Lezioni frontali, esercitazioni. Esercizi suggeriti.
Eventuali indicazioni sui materiali di studio: Dispense disponibili alla pagina web http://mgaruti.weebly.com/ca.html
Altro materiale (esercizi, testi degli esami precedenti) disponibile alla stessa pagina web.
Testi di riferimento:
  • Garuti, M.A., Commutative Algebra Lecture notes. Padova: --, 2015. Disponibile gratuitamente alla pagina web del corso.
  • Atiyah, Michael Francis; Mac Donald, Ian Grant, Introduction to commutative algebra. Reading [etc.]: Addison-Wesley, --. Versione italiana edita da Feltrinelli, 1981. Cerca nel catalogo
  • Eisenbud, David, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. New York [etc.]: Springer, --. Graduate Texts in Mathematics, No. 150 Cerca nel catalogo
  • Ramero, Lorenzo, Grimoire d'algèbre commutative. Lille: Les Presses Insoumises, 2015. Link dalla pagina web del corso