Insegnamento
TEORIA DEI NUMERI 1
SCP4063857, A.A. 2016/17

Principali informazioni sull'insegnamento
Corso di studio Corso di laurea magistrale in
MATEMATICA
SC1172, ordinamento 2011/12, A.A. 2016/17
1148433
Curriculum GENERALE [010PD]
Crediti formativi 8.0
Denominazione inglese NUMBER THEORY 1
Sito della struttura didattica http://matematica.scienze.unipd.it/2016/laurea_magistrale
Dipartimento di riferimento Dipartimento di Matematica
Obbligo di frequenza No
Lingua di erogazione INGLESE
Sede PADOVA

Docenti
Responsabile FRANCESCO BALDASSARRI MAT/03

Mutuazioni
Codice Insegnamento Responsabile Corso
SCP4063857 TEORIA DEI NUMERI 1 FRANCESCO BALDASSARRI SC1172

Dettaglio crediti formativi
Tipologia Ambito Disciplinare Settore Scientifico-Disciplinare Crediti
CARATTERIZZANTE Formazione teorica avanzata MAT/02 2.0
CARATTERIZZANTE Formazione teorica avanzata MAT/03 3.0
CARATTERIZZANTE Formazione teorica avanzata MAT/05 3.0

Modalità di erogazione
Periodo di erogazione Primo semestre
Anno di corso I Anno
Modalità di erogazione frontale

Organizzazione della didattica
Tipo ore Crediti Ore di
Corso
Ore Studio
Individuale
Turni
ESERCITAZIONE 4.0 32 68.0 Nessun turno
LEZIONE 4.0 32 68.0 Nessun turno

Calendario
Inizio attività didattiche 01/10/2016
Fine attività didattiche 20/01/2017

Commissioni d'esame
Commissione Dal Al Membri
3 Teoria dei Numeri 1 - 2016/2017 01/10/2016 30/11/2017 BALDASSARRI FRANCESCO (Presidente)
LONGO MATTEO (Membro Effettivo)
CAILOTTO MAURIZIO (Supplente)
CANDILERA MAURIZIO (Supplente)
KLOOSTERMAN REMKE NANNE (Supplente)

Syllabus
Prerequisiti: Un corso standard di Algebra di livello base; sarebbe molto utile avere già seguito un breve corso di Teoria di Galois; Algebra Lineare; i corsi di Analisi 1 e 2. Sarebbe bene anche avere un po' di familiarità con le funzioni di una variabile complessa.
Conoscenze e abilita' da acquisire: Corpi di numeri algebrici. Anelli degli interi algebrici; loro determinazione esplicita per corpi quadratici, ciclotomici (e di alcuni corpi cubici). Teoria del discriminante e della ramificazione. Decomposizione di primi. Teoria di Galois e di Hilbert. La legge di reciprocità quadratica. Teoria di Minkowski. Determinazione del gruppo di classi e del gruppo delle unità in casi semplici. Introduzione alla Teoria del Corpo di Classi.
Modalita' di esame: Si proporrano 3 compitini scritti durante il corso.
Il loro scopo è di verificare la comprensione delle lezioni passo-passo.
Un esame scritto finale sarà proposto a chi non ha superato i compitini o non è soddisfatto del voto ottenuto. A ogni studente è offerta l'opportunità di presentare un argomento concordato con il docente in una lezione di 45 minuti durante il corso.
Un esame orale finale è riservato a chi mira a voti eccezionali.
Criteri di valutazione: Si apprezzerà e valuterà sia l'impegno di studio che l'interesse per la materia e la capacità di risolvere problemi.
Contenuti: 1. Teoria algebrica di base dei gruppi e anelli commutativi.
2. Fattorizzazione di elementi e di ideali
3. Domini di Dedekind.
4. Corpi di numeri algebrici. Corpi ciclotomici e quadratici.
5. Anelli di interi. Proprietà di fattorizzazione.
6. Estensioni finite, decomposizione, ramificazione. Teoria della decomposizione di Hilbert.
7. Automorfismo di Frobenius, mappa di Artin;
8. Corpi quadratici e ciclotomici. Legge di reciprocità quadratica. Somme di Gauss.
9. Una introduzione alla teoria del corpo di classi (da Kato-Kurokawa-Saito, Vol. 2 Cap. 5).
10. Teoria di Minkowski (finitezza del numero di classi e teorema delle unità).
11. Serie di Dirichlet, funzione zeta, valori speciali e formula per il numero di classi (da Kato-Kurokawa-Saito, Vol. 1).

Tutto il materiale si trova comunque nel testo : Daniel A. Marcus "Number Theory", Springer-Verlag. Il nostro programma essenziale consiste dei Capitoli da 1 a 5, con gli esercizi utilizzati nelle dimostrazioni. Le dimostrazioni analitiche nel capitolo 5 non saranno richieste.
Si raccomanda la lettura, a scopo culturale, dei due libri di Kato-Kurokawa-Saito, eventualmente saltandone le dimostrazioni.
Attivita' di apprendimento previste e metodologie di insegnamento: I compitini saranno un controllo della comprensione del corso da parte dello studente. Molto spesso gli esercizio proposti saranno tratti da sezioni del libro indicate precedentemente, allo scopo di incoraggiare gli studenti a cimentarsi con gli esercizi del libro.

A ogni studente è offerta l'opportunità di presentare un argomento concordato con il docente in una lezione di 45 minuti durante il corso. Si potrà cosí valutare la capacità espositive dello studente.

L'esame orale finale consiste in una lezione da svolgere in sede separata su argomento di livello più elevato.
Eventuali indicazioni sui materiali di studio: E' possibile che uno studente trovi più semplice studiare uno o più argomenti in altri libri di testo o in note di corsi reperibili online. Quando possibile, l'insegnante darà indicazioni su dove reperire tale materiale.
Testi di riferimento:
  • Daniel A. Marcus, Number Fields. --: Springer Universitext, 1977. Cerca nel catalogo
  • Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Takeshi Saito, Number Theory 1 (Fermat's Dream) and Number Theory 2 (Introduction to Class Field Theory). --: Translations of Math. Monographs Vol. 186 and 240 American Mathematical Society, 2011. Cerca nel catalogo