Didattica - Università degli Studi di Padova

Syllabus

Prerequisiti:	Adeguate conoscenze dei contenuti dei corsi di analisi matematica. In particolare, la teoria della misura di Lebesgue, svolta ad analisi III, è considerata prerequisito.
Conoscenze e abilita' da acquisire:	Adeguata conoscenza dell'analisi complessa, degli spazi Hilbert e della teoria delle distribuzioni.
Modalita' di esame:	Esame diviso in due parti: risoluzione di esercizi e teoria
Criteri di valutazione:	Lo studente deve dimostrare di conoscere la teoria e di saperla applicare alla risoluzione di esercizi.
Contenuti:	A. Funzioni analitiche 1. Condizioni di Cauchy-Riemann 2. Laplaciano su C. Funzioni armoniche e analitiche. Determinazione di una funzione analitica dalla sua componente reale o immaginaria 3. Trasformazioni conformi e funzioni analitiche 4. Integrazioni su C. Disuguaglianza di Darboux. Teorema di Cauchy. Teorema fondamentale del calcolo integrale, Teorema di Morera. Formula di Cauchy. Teorema della media, principio del massimo, teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'algebra. 5. Studio delle serie nel campo complesso. Teorema di Weierstrass sulle serie. Serie di potenze, teorema di Abel, teorema della serie di Taylor, serie di Laurent. 6. Singolarità isolate (eliminabili, poli, essenziali). Teoremi di Picard sulle singolarità essenziali (enunciati). Residui. Punto all'infinito. Funzioni polidrome e punti di ramificazione. 7. Zeri di una funzione, teorema di unicità, unicità del prolungamento analitico 8. Teorema dei residui. Residuo all'infinito. Teorema della somma dei residui. 9. Teorema dell'indicatore logaritmico. Principio dell'argomento. Sviluppo in frazioni semplici. 10. Integrazione nell'ambito della teoria dei residui, Lemma di Jordan e sue applicazioni. Integrazione di funzioni trigoniometriche. 11. Parte principale di un integrale, la prescrizione epsilon. 12. Integrali che coinvolgono funzioni polidrome. B. Spazi di Hilbert e distribuzioni. 1. Spazi vettoriali finito e infinito dimensionali. Spazi con prodotto scalare (pre-Hilbertiani) e normati. 2. Convergenza, completezza e teorema del completamento. Spazi di Banach e di Hilber. Esempi importanti: spazi l_2 e L_2. 3. Sottospazi. Complemento ortogonale. Teorema della decomposizione in sottospazi ortogonali. 4. Sistemi e basi ortonormali (s.o.n. e b.o.n.). Procedura di Gram-Schmidt. Separabilità e numerabilità dei s.o.n. Espansione in serie di Fourier in b.o.n. Teorema di Riesz-Fischer. Esempi di b.o.n. (polinomi di Legendre, Hermite e Leguerre). 5. Funzionali lineari limitati e continui, teorema di Riesz, notazione di Dirac. 6.Spazi di Schwarz e distribuzioni temperate, operazioni sulle distribuzioni. 7. Operatori lineari limitati: operatore aggiunto e inverso, funzione analitica di un operatore, operatori autoaggiunti, proiettori ortogonali, operatori isometrici e unitari. 8. Trasformata di Fourier e sua estensione alle distribuzioni. TF e convoluzione. TF come trasformazione unitaria su L_2. 9. Aggiunto di operatori non-limitati. Operatori non-limitati simmetrici, autoaggiunti e essenzialmente autoaggiunti. Esempi importanti: operatori Q, P, P^2, su vari domini.
Attivita' di apprendimento previste e metodologie di insegnamento:	Lezioni frontali
Eventuali indicazioni sui materiali di studio:
Testi di riferimento:	Smirnov, Corso di Matematica Superiore, vol. 3 parte II. --: Ed. Riuniti, --. Rossetto, Metodi Matematici della Fisica. --: Ed. Levrotto e Bella, --. Musso e Ragnisco, Raccolta di Esercizi e Problemi di Analisi Complessa e Algebra Lineare. --: Aracne, --. Pradisi, Lezioni di Metodi Matematici per la Fisica. --: Ed. della Normale, --. Onofri, Lezioni sulla Teoria degli Operatori Lineari. --: Ed. Zara, --. Abbati e Cirelli, Metodi Matematici per la Fisica. Operatori Lineari negli Spazi di Hilbert. --: Ed. Città Studi, --. Kolmogorov e Fomin, Elementi della Teoria delle Funzioni e di Analisi Funzionale. --: Ed. Riuniti, --. Weidmann, Linear Operators in Hilbert Spaces. --: Ed. Springer-Verlag, --.