Didattica - Università degli Studi di Padova

Syllabus

Prerequisiti:	Nozioni base di algebra (gruppi, anelli, ideali, campi, quozienti, ecc.), acquisite nel corso di "Algebra 1".
Conoscenze e abilita' da acquisire:	Una buona conoscenza degli oggetti algebrici da utilizzare in Geometria Algebrica e Teoria dei Numeri: - Moduli; - Prodotti Tensoriali; - Spettro di un anello; - Localizzazione; - Estensioni intere; - Anelli noetheriani; - Domini di Dedekind ed anelli di valutazione discreta; - Rudimenti di teoria della dimensione.
Modalita' di esame:	Esame scritto
Criteri di valutazione:	La valutazione della preparazione dello studente sia baserà sulla comprensione degli argomenti svolti, sull'acquisizione dei concetti e delle metodologie proposte e sulla capacità di applicarli in modo autonomo e consapevole.
Contenuti:	Anelli commutativi unitari, ideali, omomorfismi, anelli quoziente. Campi, domini integrali, zero divisori, elementi nilpotenti. Ideali primi e ideali massimali. Anelli locali e la loro caratterizzazione. Operazioni su ideali (somma, intersezione, prodotto). Estensione e contrazione di ideali per omomorfismi. Annullatore, ideale radicale, nilradicale e radicale di Jacobson di un anello. Prodotto diretto di anelli. Moduli, sottomoduli e loro operazioni (somma, intersezione). Annullatore di un modulo. Somme dirette e prodotti diretti di moduli. Successioni esatte di moduli, lemma del serpente. Moduli proiettivi ed iniettivi. Moduli finitamente generati, di presentazione finita, moduli liberi. Teorema di Cayley-Hamilton e Lemma di Nakayama. Prodotto tensoriale e le sue proprietà. Estensione degli scalari per i moduli. Algebre su un anello e il loro prodotto tensoriale. Esattezza ed aggiunzione dei funtori Hom prodotto tensoriale. Moduli piatti. Differenziali di Kähler. Anelli di frazioni e localizzazione. Esattezza della localizzazione. Proprietà locali. Elementi interi, estensioni intere di anelli e chiusura integrale. Going Up, Going Down ed interpretazione geometrica. Anelli di valutazione. Cenni sui completamenti. Condizioni sulle catene, anelli e moduli artiniani e noetheriani. Teorema della beorema di Hilbert. Lemma di Normalizzazione e Nullstellensatz. Anelli di valutazione discreta. Ideali frazionari e moduli invertibili. Divisori di Cartier e Weil, gruppo di Picard, applicazione ciclo. Domini di Dedekind e loro estensioni. Decomposizione degli ideali, inerzia e ramificazione. Dimensione di Krull, altezza di un ideale primo. Teorema dell'ideale principale. Caratterizzazione dei domini fattoriali. Anelli locali regolari. Finitezza della dimensione di un anello locale noetheriano.
Attivita' di apprendimento previste e metodologie di insegnamento:	Lezioni frontali. Esercizi suggeriti.
Eventuali indicazioni sui materiali di studio:	Dispense disponibili alla pagina web http://www.mathematik.uni-kl.de/agag/mitglieder/professoren/gathmann/notes/commalg/
Testi di riferimento:	Atiyah, Michael Francis; Mac_Donald, Ian Grant, Introduction to commutative algebraM. F. Atiyah, I. G. Macdonald. Reading [etc.]: Addison-Wesley, --. Atiyah, Michael Francis; Mac_Donald, Ian Grant; Maroscia, Paolo, Introduzione all'algebra commutativaM. F. Atiyah e I. G. Macdonaldappendice all'edizione italiana di Paolo Maroscia. Milano: Feltrinelli, 1981. Eisenbud, David, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. New York [etc.]: Springer, --. Gathmann, A., Commutative Algebra. Kaiserslautern: --, 2013. Disponibile gratuitamente alla pagina web dell'autore.