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Insegnamento
ALGEBRA COMMUTATIVA
SCP3050935, A.A. 2018/19
Informazioni valide per gli studenti immatricolati nell'A.A. 2018/19
Dettaglio crediti formativi
Tipologia |
Ambito Disciplinare |
Settore Scientifico-Disciplinare |
Crediti |
CARATTERIZZANTE |
Formazione teorica avanzata |
MAT/03 |
8.0 |
Organizzazione dell'insegnamento
Periodo di erogazione |
Primo semestre |
Anno di corso |
I Anno |
Modalità di erogazione |
frontale |
Tipo ore |
Crediti |
Ore di didattica assistita |
Ore Studio Individuale |
ESERCITAZIONE |
4.0 |
32 |
68.0 |
LEZIONE |
4.0 |
32 |
68.0 |
Inizio attività didattiche |
01/10/2018 |
Fine attività didattiche |
18/01/2019 |
Commissioni d'esame
Commissione |
Dal |
Al |
Membri |
6 Algebra Commutativa - a.a. 2018/2019 |
01/10/2018 |
30/09/2019 |
KLOOSTERMAN
REMKE NANNE
(Presidente)
GARUTI
MARCO-ANDREA
(Membro Effettivo)
BALDASSARRI
FRANCESCO
(Supplente)
CAILOTTO
MAURIZIO
(Supplente)
CHIARELLOTTO
BRUNO
(Supplente)
LONGO
MATTEO
(Supplente)
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Prerequisiti:
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Nozioni base di algebra (gruppi, anelli, ideali, campi, quozienti, ecc.), acquisite nel corso di "Algebra 1". |
Conoscenze e abilita' da acquisire:
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Una buona conoscenza degli oggetti algebrici da utilizzare in Geometria Algebrica e Teoria dei Numeri:
- Moduli;
- Prodotti Tensoriali;
- Spettro di un anello;
- Localizzazione;
- Estensioni intere;
- Anelli noetheriani;
- Domini di Dedekind ed anelli di valutazione discreta;
- Rudimenti di teoria della dimensione. |
Modalita' di esame:
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Esame scritto |
Criteri di valutazione:
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La valutazione della preparazione dello studente sia baserà sulla comprensione degli argomenti svolti, sull'acquisizione dei concetti e delle metodologie proposte e sulla capacità di applicarli in modo autonomo e consapevole. |
Contenuti:
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Anelli commutativi unitari, ideali, omomorfismi, anelli quoziente. Campi, domini integrali, zero divisori, elementi nilpotenti. Ideali primi e ideali massimali. Anelli locali e la loro caratterizzazione. Operazioni su ideali (somma, intersezione, prodotto). Estensione e contrazione di ideali per omomorfismi. Annullatore, ideale radicale, nilradicale e radicale di Jacobson di un anello. Prodotto diretto di anelli.
Moduli, sottomoduli e loro operazioni (somma, intersezione). Annullatore di un modulo. Somme dirette e prodotti diretti di moduli. Successioni esatte di moduli, lemma del serpente. Moduli proiettivi ed iniettivi. Moduli finitamente generati, di presentazione finita, moduli liberi. Teorema di Cayley-Hamilton e Lemma di Nakayama.
Prodotto tensoriale e le sue proprietà. Estensione degli scalari per i moduli. Algebre su un anello e il loro prodotto tensoriale. Esattezza ed aggiunzione dei funtori Hom prodotto tensoriale. Moduli piatti. Differenziali di Kähler.
Anelli di frazioni e localizzazione. Esattezza della localizzazione. Proprietà locali.
Elementi interi, estensioni intere di anelli e chiusura integrale. Going Up, Going Down ed interpretazione geometrica. Anelli di valutazione. Cenni sui completamenti.
Condizioni sulle catene, anelli e moduli artiniani e noetheriani. Teorema della beorema di Hilbert. Lemma di Normalizzazione e Nullstellensatz.
Anelli di valutazione discreta. Ideali frazionari e moduli invertibili. Divisori di Cartier e Weil, gruppo di Picard, applicazione ciclo. Domini di Dedekind e loro estensioni. Decomposizione degli ideali, inerzia e ramificazione.
Dimensione di Krull, altezza di un ideale primo. Teorema dell'ideale principale. Caratterizzazione dei domini fattoriali. Anelli locali regolari. Finitezza della dimensione di un anello locale noetheriano. |
Attivita' di apprendimento previste e metodologie di insegnamento:
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Lezioni frontali. Esercizi suggeriti. |
Eventuali indicazioni sui materiali di studio:
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Dispense disponibili alla pagina web http://www.mathematik.uni-kl.de/agag/mitglieder/professoren/gathmann/notes/commalg/ |
Testi di riferimento: |
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Atiyah, Michael Francis; Mac_Donald, Ian Grant, Introduction to commutative algebraM. F. Atiyah, I. G. Macdonald. Reading [etc.]: Addison-Wesley, --.
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Atiyah, Michael Francis; Mac_Donald, Ian Grant; Maroscia, Paolo, Introduzione all'algebra commutativaM. F. Atiyah e I. G. Macdonaldappendice all'edizione italiana di Paolo Maroscia. Milano: Feltrinelli, 1981.
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Eisenbud, David, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. New York [etc.]: Springer, --.
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Gathmann, A., Commutative Algebra. Kaiserslautern: --, 2013. Disponibile gratuitamente alla pagina web dell'autore.
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Didattica innovativa: Strategie di insegnamento e apprendimento previste
- Lecturing
- Problem solving
- Files e pagine caricati online (pagine web, Moodle, ...)
Didattica innovativa: Software o applicazioni utilizzati
- Moodle (files, quiz, workshop, ...)
- One Note (inchiostro digitale)
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