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a Ciclo Unico
Scuola di Scienze
MATEMATICA
Insegnamento
GEOMETRIA 1
SC01122868, A.A. 2018/19

Informazioni valide per gli studenti immatricolati nell'A.A. 2018/19

Principali informazioni sull'insegnamento
Corso di studio Corso di laurea in
MATEMATICA
SC1159, ordinamento 2008/09, A.A. 2018/19
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Crediti formativi 14.0
Tipo di valutazione Voto
Denominazione inglese GEOMETRY 1
Sito della struttura didattica http://matematica.scienze.unipd.it/2018/laurea
Dipartimento di riferimento Dipartimento di Matematica
Obbligo di frequenza No
Lingua di erogazione ITALIANO
Sede PADOVA
Corso singolo È possibile iscriversi all'insegnamento come corso singolo
Corso a libera scelta È possibile utilizzare l'insegnamento come corso a libera scelta

Docenti
Responsabile MAURIZIO CANDILERA MAT/03
Altri docenti LUISA FIOROT MAT/03

Dettaglio crediti formativi
Tipologia Ambito Disciplinare Settore Scientifico-Disciplinare Crediti
BASE Formazione Matematica di base MAT/03 14.0

Organizzazione dell'insegnamento
Periodo di erogazione Annuale
Anno di corso I Anno
Modalità di erogazione frontale

Tipo ore Crediti Ore di
didattica
assistita
Ore Studio
Individuale
ESERCITAZIONE 6.0 60 90.0
LEZIONE 8.0 64 136.0

Calendario
Inizio attività didattiche 01/10/2018
Fine attività didattiche 28/06/2019
Visualizza il calendario delle lezioni Lezioni 2019/20 Ord.2008

Commissioni d'esame
Commissione Dal Al Membri
8 Geometria 1 - a.a. 2018/2019 01/10/2018 30/09/2019 CANDILERA MAURIZIO (Presidente)
FIOROT LUISA (Membro Effettivo)
BOTTACIN FRANCESCO (Supplente)
CAILOTTO MAURIZIO (Supplente)
KLOOSTERMAN REMKE NANNE (Supplente)
MISTRETTA ERNESTO CARLO (Supplente)
PRELLI LUCA (Supplente)

Syllabus
Prerequisiti: Nessuno
Conoscenze e abilita' da acquisire: Conoscenza delle nozioni fondamentali dell'algebra lineare e della loro interpretazione geometrica, con particolare attenzione al concetto di spazio vettoriale e di funzione lineare.
Risoluzione di sistemi lineari, applicazioni dei determinanti, forma canonica di Jordan per endomorfismi.
Studio di sottovarietà lineari dello spazio affine ed euclideo. Calcolo baricentrico e sue applicazioni. Calcolo del volume di simplessi dello spazio euclideo (Identità di Lagrange). Applicazioni affini e isometrie e loro rappresentazione tramite matrici.
Applicazioni del Teorema Spettrale (per matrici simmetriche e normali).
Classificazione delle isometrie del piano e dello spazio tridimensionale secondo Eulero.
Modalita' di esame: Prova scritta sui contenuti del corso e successiva prova orale. La prova scritta consiste nella risoluzione di alcuni esercizi. LA prova orale nell'esposizione di alcuni dei risultati presentati nel corso e nel loro utilizzo.
Criteri di valutazione: Il voto finale si basa sui risultati delle prove scritte e orali. Viene valutata la capacità di risolvere problemi e la padronanza e l'autonomia acquisite nell'utilizzo dei contenuti e delle tecniche presentate durante il corso.
Contenuti: Introduzione all'Algebra lineare e alle sue applicazioni alla geometria dello spazio affine e euclideo di dimensione finita.

Numeri Complessi: Piano di Gauss. Riflessioni rispetto a rette e cerchi. Cenni alle Trasformazioni di Moebius.

Spazi Vettoriali: Sottospazi. Intersezione e somma. Indipendenza lineare. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Coordinate. Equazioni parametriche e cartesiane per un sottospazio. Relazioni di Grassmann. Spazio quoziente, proiezione canonica. Teoremi di Isomorfismo.

Applicazioni Lineari e Matrici: Applicazioni lineari. Nucleo e immagine. Rango e formula delle dimensioni. Isomorfismi. Lo spazio vettoriale delle matrici mxn e la sua base canonica. Prodotto di matrici. Matrici invertibili e gruppo lineare generale. Matrice associata ad un'applicazione lineare. Composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici. Matrici di cambiamento di base. Equivalenza tra matrici. Matrice trasposta. Spazio vettoriale duale ed applicazione trasposta. Sottospazi ortogonali. Prodotto tensoriale tra vettori e forme lineari.

Sistemi Lineari: Teorema di Rouché-Capelli. Matrici Elementari ed operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe e matrici a scalini.

Determinanti: Funzioni multilineari alternanti su uno spazio vettoriale di dimensione finita. Determinante di un endomorfismo e determinante di una matrice quadrata. Determinante ed invertibilità. Teorema di Binet. Sviluppi di Laplace e matrici inverse. Applicazioni della tecnica di Gauss al calcolo di determinanti. Alcuni determinanti notevoli.

Forme Canoniche di Matrici: Classificazione per equivalenza e similitudine. Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore, primo criterio di diagonalizzabilità.
Criterio di triangolarizzabilità. Teorema di Hamilton-Cayley, mappa di valutazione, polinomio mimimo. Teorema di decomposizione, secondo criterio di diagonalizzabilità, forme canoniche di Jordan, (tipo di nilpotenza).

Geometria Affine: Spazio affine, riferimenti affini e coordinate, sottospazi affini, equazioni parametriche e cartesiane, formula di Grassmann affine. Calcolo baricentrico: descrizione baricentrica dei sottospazi affini. Rapporto semplice, teoremi di Ceva e Menelao. Applicazioni affini e affinità, applicazioni lineari associate e rappresentazione matriciale. Azione delle trasformazioni affini sui sottospazi affini; punti e sottospazi uniti per una affinità.

Geometria Euclidea: prodotto scalare standard e sue proprietà, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e misura di angoli, ortogonalità, proiezione ortogonale, basi ortonormali, metodo di Gram-Schmidt, formula di Parseval; simmetrie e proiezioni ortogonali. Prodotto vettore nello spazio tridimensionale, sue proprietà; identità di Lagrange e sue generalizzazioni. Prodotto misto; calcolo di volumi di parallelepipedi e simplessi. Spazio affine Euclideo, ortogonalità, riferimenti ortonormali, distanza tra sottospazi affini, punti di minima distanza; calcoli di distanza, aree, volumi ed angoli; isometrie e similitudini (dirette e inverse), classificazione (di Eulero) delle isometrie. Matrici simmetriche e teorema spettrale reale. Equivalenza ortogonale per matrici rettangolari (valori singolari).

Geometria Hermitiana: prodotto hermitiano standard e sue proprietà, norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, teoremi di Pitagora e Carnot hermitiani, vettori ortonormali, proiezioni ortogonali, basi ortonormali e formula di Parseval, gruppi unitario e unitario speciale. Matrici hermitiane, normali e teorema spettrale per matrici normali.
Attivita' di apprendimento previste e metodologie di insegnamento: Lezioni in aula con esercitazioni e risoluzione di problemi.
Eventuali indicazioni sui materiali di studio: Materiale di approfondimento e prove d'esame di anni precedenti si trovano nella pagina web dei docenti (in italiano) e nella pagina moodle del corso.
Testi di riferimento:
  • Bertapelle A, Candilera M, Algebra lineare e primi elementi di Geometria. Milano: McGraw-Hill, 2011. Cerca nel catalogo
  • Kostrikin A I, Manin Yu I, Linear Algebra and Geometry. Moscow, London, New York: Gordon and Breach, 1989. Cerca nel catalogo
  • Hoffmann K, Kunze R, Linear Algebra (2nd Edition). --: Prentice Hall, 1971. (la parte di Geometria è carente)

Didattica innovativa: Strategie di insegnamento e apprendimento previste
  • Problem based learning