Didattica - Università degli Studi di Padova

Syllabus

Prerequisiti:	Solida conoscenza dei risultati fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di una variabile reale.
Conoscenze e abilita' da acquisire:	Apprendimento degli elementi essenziali del calcolo infinitesimale, differenziale ed integrale.
Modalita' di esame:	Prova scritta teorica e applicativa.
Criteri di valutazione:	Prova scritta comprendente una parte di esercizi ed una parte di teoria.
Contenuti:	Assiomi dei numeri reali. Incompletezza dei numeri razionali. Cenni di teoria degli insiemi. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzioni invertibili, funzioni inverse. Funzioni monotone, composte, lineari. Funzioni valore assoluto, potenza, esponenziale, logaritmo. Le funzioni trigonometriche. Il principio di induzione. La diseguaglianza di Bernoulli. Il binomio di Newton. Cenni di calcolo combinatorio. Insiemi di numeri reali. Maggiorante, minorante, insiemi limitati e no. Massimo e minimo, estremo superiore ed estremo inferiore. Esistenza dell’estremo superiore. Limiti di successioni. Definizioni, unicità del limite. Successioni convergenti e successioni limitate. Operazioni con i limiti. Teoremi di confronto. Successioni infinitesime. Teorema sul prodotto di una successione infinitesima e di una limitata. Teorema sul limite delle successioni monotone. Il numero e. Criterio del rapporto per le successioni. Successioni estratte. Successioni di Cauchy. Limiti di funzioni. Definizioni. Legami tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Esistenza del limite unilaterale delle funzioni monotone. Limiti delle funzioni elementari. Operazione con i limiti di funzioni. Limiti di funzioni composte. Funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Tipi di discontinuità. Teorema della permanenza del segno. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di Weierstrass. Teorema dell’esistenza dei valori intermedi. Criterio di continuità delle funzioni monotone e delle loro inverse. Definizione di derivata. Significato geometrico, retta tangente. Continuità delle funzioni derivabili. Operazioni con le derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Le funzioni trigonometriche inverse e le loro derivate. Applicazioni delle derivate. Massimi e minimi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange. Criteri di monotonia. Caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo. Funzioni convesse e concave. Criterio di convessità. Il teorema di L’Hôpital. Studio del grafico di una funzione. La formula di Taylor con il resto di Peano. Criterio per i punti di massimo o di minimo. Definizione di o piccolo. Confronto fra infinitesimi. Parte principale. Principio di sostituzione degli infinitesimi e sua generalizzazione. Confronto fra infiniti. Uso della formula di Taylor e del principio di sostituzione nel calcolo dei limiti. Integrali definiti. Definizione, caratterizzazione delle funzioni integrabili. Confronto fra integrali. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di una funzione e formula fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito. Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per parti e per sostituzione. Calcolo di aree di figure piane. Integrali impropri estesi a semirette o rette o di funzioni non limitate. Funzione integrale. Serie numeriche. Definizione di serie convergente, divergente, indeterminata. Condizione necessaria per la convergenza. Criterio di Cauchy. Resto di una serie numerica e suo comportamento. Serie geometrica. Combinazione lineare di serie. Teorema sulle serie a termini non negativi. La serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per le serie a termini non negativi. Serie con termini di segno alterno. Convergenza assoluta. La convergenza assoluta implica la convergenza. Criteri di convergenza assoluta. Introduzione alle equazioni differenziali. Equazioni differenziali lineari di ordine 1. Equazioni di ordine 1 a variabili separabili. Equazioni lineari di ordine 2 (a coefficienti costanti). Esempi ed applicazioni.
Attivita' di apprendimento previste e metodologie di insegnamento:	Lezioni frontali alla lavagna. Esercizi proposti settimanalmente.
Eventuali indicazioni sui materiali di studio:	Oltre ai testi adottati, consultazione della lavagna digitale di ogni lezione e dei documenti ausiliari del docente, che verranno via via pubblicati nella pagina web del corso.
Testi di riferimento:	Marcellini, Paolo; Sbordone, Carlo, Elementi di analisi matematica uno. --: Liguori, --. Marcellini, Paolo; Sbordone, Carlo, Esercitazioni di matematica 1° volume, parte prima. --: Liguori, --. Marcellini, Paolo; Sbordone, Carlo, Esercitazioni di matematica 1° volume, parte seconda. --: Liguori, --.