Didattica - Università degli Studi di Padova

Syllabus

Prerequisiti:	Calcolo integrale e differenziale: fondamenti su integrazione e differenziazione, integrazione e derivazione esplicita di funzioni elementari, teorema fondamentale del calcolo integrale, elementi su curve e superfici. I teoremi di Green-Gauss-Stokes o della divergenza. Teoria elementare delle equazioni differenziali ordinarie e sul problema di Cauchy. Nozioni di base di analisi complessa: cosa sono le funzioni di variabile complessa, olomorfe e analitiche, proprietà essenziali come le equazioni di Cauchy- Riemann.
Conoscenze e abilita' da acquisire:	Saper esporre nozioni basilari di parte della teoria consolidata sulle equazioni differenziali alle derivate parziali lineari. Saper risolvere problemi di tipo e difficoltà analoghi a quelli proposti durante l'anno. Conoscenza delle applicazioni in altre discipline. Corso di base, consigliato sia agli studenti con interessi di matematica pura che applicata, ed in particolare agli studenti con un curriculum di Analisi.
Modalita' di esame:	L'esame consiste di una prova orale durante la quale lo/la studente/ssa deve risolvere esercizi, enunciare e dimostrare teoremi visti durante il corso. In caso di alta affluenza, la commissione di esame si riserva di far svolgere parte della prova per iscritto.
Criteri di valutazione:	I criteri adottati saranno i seguenti: -chiarezza e rigore dell’esposizione di enunciati e teoremi -capacita' di utilizzare le conoscenze acquisite per risolvere esercizi e problemi.
Contenuti:	Piano didattico: il corso è diviso in due parti. La prima parte è rivolta a tutti gli studenti che seguiranno il corso, siano essi del corso di laurea in matematica che del corso di laurea in ingegneria, mentre la seconda parte è indirizzata solo agli studenti di ingegneria. Nella prima parte si affronta lo studio di equazioni ellittiche, paraboliche e iperboliche in un caso modello (con particolare attenzione all'operatore di Laplace) nel caso classico, le soluzioni avranno cioè derivate classiche. Nella seconda parte si affrontano alcuni problemi un po' più generali in spazi più ampi dove la nozione di derivata classica viene indebolita. Parte prima - Cenni sulla classificazione di alcune equazioni del secondo ordine. - Equazioni del primo ordine: equazioni di trasporto a coefficienti costanti. - Equazione di Laplace, soluzione fondamentale, funzioni armoniche e principali proprieta', formule del valor medio, Teorema di Liouville, disuguaglianza di Harnack, principio del massimo. Equazione di Poisson. Funzione di Green e formula di Poisson di rappresentazione delle soluzioni. Cenni della teoria delle distribuzioni. Le soluzioni deboli dell'equazione di Laplace su domini limitati sono funzioni armoniche. - Equazione del calore, soluzione fondamentale, esistenza delle soluzioni per il problema di Cauchy e formula di rappresentazione. Unicita' e stabilita' delle soluzioni. Formule del valor medio, principio del massimo, principio del massimo di Hopf. - Equazione delle onde: esistenza della soluzione, formula di D'Alembert, metodo delle medie sferiche, principio di Duhamel, unicita', velocita' finita di propagazione. Parte seconda Spazi L^p, topologia forte e debole in tali spazi. Spazi di Sobolev, concetto di derivata debole. Spazi di Hilbert e spazi di Banach. Teorema di Lax-Milgram Formulazione variazionale di alcuni problemi ai limiti ellittici. Alcuni risultati di regolarità per le soluzioni deboli di tali problemi ai limiti. Disuguaglianza di Harnack, regolarità, principio del massimo. Metodo di Galerkin. Equazioni paraboliche: esistenza e unicità e cenni ad altri risultati (disuguaglianza di Harnack, principio del massimo, regolarità).
Attivita' di apprendimento previste e metodologie di insegnamento:	Lezioni frontali alla lavagna o con il tablet.
Eventuali indicazioni sui materiali di studio:	Non si seguirà un libro di testo, ma vi saranno note scritte per gli studenti con indicazioni bibliografiche e/o note delle lezioni, qualora svolte con il tablet. I principali libri sui quali trovare il materiale sono elencati nell'apposita sezione.
Testi di riferimento:	L. C. Evans, Partial Differential Equations. --: American Mathematical Society, 2010. S. Salsa and G. Verzini, Partial differential equations in action - from modelling to theory. --: Springer, 2022. E. DiBenedetto, Partial Differential Equations. --: Birkhäuser, 2010. H. Brezis, Functional Analysis (in French, Italian, Spanish), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (in English). --: --, --.