Didattica - Università degli Studi di Padova

Syllabus

Prerequisiti:	Conoscenze matematiche a livello di scuola superiore. Aritmetica: numeri interi e operazioni, scomposizione in fattori primi. Numeri razionali. Numeri reali. Logica: saper distinguere conclusioni da premesse. Saper distinguere fra assiomi, definizioni e teoremi. Tecnica di dimostrazione per assurdo. Saper riconoscere il ruolo logico di esempi e controesempi. Sapere negare una asserzione. Polinomi: operazioni, divisione euclidea, scomposizione in fattori. Disequazioni algebriche. Geometria Euclidea piana: incidenza, parallelismo e perpendicolarità fra rette. Teorema di Talete, di Euclide e di Pitagora. Similitudine di triangoli. Circonferenza e cerchio e teoremi fondamentali ad essi relativi. Trigonometria: definizione di seno, coseno e tangente e loro proprietà di base.
Conoscenze e abilita' da acquisire:	Conoscenza delle nozioni di base dell'algebra lineare e della loro interpretazione geometrica, con particolare approfondimento del concetto di spazio vettoriale e di funzione lineare. Risoluzione di sistemi lineari. Conoscenza del Teorema spettrale e delle sue principali applicazioni. Capacità di utilizzare le tecniche dell'algebra lineare in problemi concreti. Sapere affrontare un problema di Geometria analitica nello spazio.
Modalita' di esame:	La verifica delle conoscenze e delle abilità attese viene effettuata con una prova d'esame scritta o equivalente. Nella prova viene richiesto allo studente di rispondere ad alcune domande di tipo teorico e di risolvere alcuni esercizi, i quali sono formulati in modo da permettere di verificare se lo studente è in grado di applicare le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di problemi concreti.
Criteri di valutazione:	Correttezza della soluzione proposta. Sufficiente motivazione delle soluzioni proposte. Chiarezza espositiva.
Contenuti:	NUMERI COMPLESSI: Definizione, operazioni e proprieta`. SPAZI VETTORIALI: Definizione ed esempi fondamentali. Sottospazi vettoriali. Intersezione, unione e somma di sottospazi. Basi, coordinate e dimensione. Somma diretta di sottospazi. APPLICAZIONI LINEARI: Costruzione di applicazioni lineari, condizioni di esistenza e/o unicita`. Nucleo e immagine; iniettivita` e suriettivita`. Teorema delle dimensioni e sue conseguenze. MATRICI E SISTEMI LINEARI: Matrici associate ad una applicazione lineare. Rango di una matrice. Sistemi lineari. Teorema di Rouche' Capelli. Metodo di riduzione di Gauss. Applicazione alla risoluzione dei sistemi lineari. Sistemi lineari parametrici. Prodotto di matrici, composizione di applicazioni lineari. Matrici invertibili e calcolo dell'inversa di una matrice. Cambiamenti di base. Matrici simili. Determinante e sue proprieta`. AUTOVALORI E AUTOVETTORI: Endomorfismi e autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicita` algebrica e molteplicita` geometrica. Diagonalizzabilita` di una matrice: condizioni necessarie e sufficienti. PRODOTTO SCALARE E DIAGONALIZZABILITA`: Prodotto scalare euclideo e sue proprieta`. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Ortogonalita`, complemento ortogonale di un sottospazio. Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Proiezioni ortogonali. Isometrie, matrici ortogonali. Isometrie del piano. Matrici simmetriche. Matrici definite positive. Teorema spettrale. GEOMETRIA AFFINE: Lo spazio affine n-dimensionale. Posizione reciproca di sottovarieta` lineari. Ortogonalita` di sottovarieta` lineari. Prodotto vettoriale e sue proprieta`. Distanza tra sottovarieta` lineari nel piano e nello spazio euclidei. Sistemi di riferimento.
Attivita' di apprendimento previste e metodologie di insegnamento:	Lezione frontale. Esercizi in classe. Attivita` su piattaforme Moodle e Wooclap.
Eventuali indicazioni sui materiali di studio:	Oltre ai testi di riferimento, saranno resi disponibili su Moodle materiali di studio integrativi.
Testi di riferimento:	Francesco Bottacin, Algebra lineare e geometria. Bologna: Esculapio, 2016. Francesco Bottacin, Esercizi di algebra lineare e geometria. Bologna: Esculapio, 2016. Nicoletta Cantarini, Bruno Chiarellotto, Luisa Fiorot, Un corso di Matematica. Teoria ed Esercizi. Padova: Progetto, 2007. Carla Novelli, Esercizi di Algebra Lineare e Geometria. Bologna: Esculapio, 2019.